Taming Logics
Szabolcs Mikulás

Dit proefschrift gaat over. algebraische logica, d.w.z., over algebra’s, logica’s en hun samenhang. In het bijzonder onderzoeken we modale logica’s met een dynamisch karakter, predicaten-logica’s, en de corresponderende klassen algebras van relaties. We slaan een “brug” tussen logica en algebra die zowel logica’s en algebra’s, als metalogische en algebraische eigenschappen met elkaar verbindt.
Centraal staat het “temmen”: het vinden van zich-goed-gedragende versies van veel onderzochte logica’s. Het probleem van veel logica’s is dat ze een aantal ongewenste eigenschappen hebben, zoals onvolledigheid en onbeslisbaarheid. Voorbeelden hiervan zijn de vierkante versie van pijl-logica, en eerste-orde logica (met minstens 3 variabelen).
We temmen deze logica’s door over de genoemde brug te gaan en de krachtige machinerie van algebraïsche logica en universele algebra toe te passen.
De opzet van dit proefschrift is als volgt. In hoofdstuk 1 introduceren we de logica’s die we gaan onderzoeken, en werken we de brug tussen algebra en logica uit.
In hoofdstuk 2 kijken we naar fragmenten van pijl-logica en geven volledig- en beslisbaarheidsresultaten voor deze redukten. De meest interessante logica in dit hoofdstuk is de Lambek calculus. Ons belangrijkste resultaat is de volledigheid van deze calculus met betrekking tot een relationele semantiek. Het corresponderende algebraïsche resultaat geeft ons een representatie van (semi-tralie-)geordende geresidueerde semi-groepen als algebra’s van binaire relaties.
Hoofdstuk 3 gaat over gerelativizeerde versies van pijl-logica. Eerst laten we meer modellen toe dan in de klassieke (vierkante) versie van pijl-logica, en dan voegen we connectieven toe die niet definieerbaar zijn in de zwakkere versie. We zullen bijvoorbeeld volledige en beslisbare versies van pijl-logica laten zien waarin de difference operator en de graded modalities gedefinieerd kunnen worden. Als we de brug oversteken naar algebra-land, dan vertellen deze resultaten ons dat verschillende expansies van zwak-associatieve relatie-algebra’s en andere gerelativizeerde versies van representeerbare relatie-algebra’s eindig axiomatiseerbaar en beslisbaar zijn.
In het laatste hoofdstuk benaderen we de volledigheids-problemen van vierkante pijl-logica en (klassieke) predicaten-logica door de regels te veranderen. In plaats van de logica te verzwakken door meer modellen toe te laten, herdefiniëren we de notie van een afleidingssysteem. Naast de standaard afleidingsregels zoals Modus Ponens staan we regels toe waarvan het gebruik beperkt is door bepaalde voorwaarden. Met behulp van deze regels zijn we in staat om simpele, eindige en volledige afleidingssystemen te geven voor bovengenoemde logica’s. De algebraische kant van deze volledigheidsresultaten is dat die relatie-, cylindrische-, en polyadische algebra’s die aan een bepaald dichtheids criterium voldoen, representeerbaar zijn als algebra’s van relaties.
Tot slot noemen we een aantal open problemen in verband met dit proefschrift, verscheidene gerelateerde resultaten en mogelijk verder onderzoek.