Views From a Peak: Generalisations and Descriptive Set Theory
Ned J H Wontner

Dit proefschrift beslaat twee onderzoeksgebieden. Het eerste, de beschrijvende verzamelingenleer, is wiskundig van aard. Het andere, veralgemenisering in de wiskunde, valt onder de filosofie. Beschrijvende verzamelingenleer is de studie naar het gedrag van de definieerbare deelverzamelingen van een gegeven structuur, bijvoorbeeld van de reële getallen. In de hoofdstukken van wiskundige aard, presenteren we wiskundige stellingen die de beschrijvende verzamelingenleer koppelen aan de veralgemeniseerde beschrijvende verzamelingenleer. Aan de hand hiervan geven we een filosofische beschrijving van de redenen voor, en de aard van, veralgemenisering in de wiskunde.
In Hoofdstuk 3 stratificeren we formele theorieën van verzamelingenleer op basis van deze beschrijvende complexiteit. Het aftelbare keuzeaxioma voor reële getallen is een van de meest elementaire verzwakkingen van het keuzeaxioma. Het is van belang voor veel deelgebieden van de wiskunde. Beschrijvende keuzeprincipes zijn varianten van deze verzwakking, die de beschrijvende complexiteit van verzamelingen in beschouwing nemen. Wij geven een techniek om de onafhankelijkheid van beschrijvende keuzeprincipes te bewijzen, gebaseerd op de techniek van Jensen forcing. Deze resultaten veralgemeniseren een stelling van Kanovei.
Hoofdstuk 4 geeft de essentie van een gegeneraliseerde reële analyse. Dat wil zeggen, een reële analyse op generalisaties van de reële getallen naar hogere oneindigheden. Dit bouwt voort op het werk van Galeotti en zijn coauteurs. We veralgemenen klassieke stellingen van de reële analyse tot bepaalde verzamelingen van functies, versterken de definitie van continuı̈teit, en weerleggen andere klassieke stellingen. We tonen ook aan dat een bepaalde eigenschap van kardinaalgetallen, de boomeigenschap, equivalent is aan de extremumstelling voor een bepaalde verzameling functies die de continue functies veralgemenen.
De vraag van Hoofdstuk 5 is of een robuuste notie van oneindige sommen kan worden ontwikkeld voor generalisaties van de reële getallen naar hogere oneindigheden. We geven enkele onverenigbaarheidsresultaten die suggereren van niet. We analyseren verschillende kandidaat-noties van oneindige sommen, zowel afkomstig uit de literatuur als origineel, en laten zien aan welke van de verlangde eigenschappen van een juist notie van som ze niet voldoen.
In Hoofdstuk 6 bestuderen we de beschrijvende verzamelingenleer die voortvloeit uit een veralgemenisering van de topologie, κ-topologie, die in de vorige twee hoofdstukken wordt gebruikt. We ontwikkelen deze op (geordende) veralgemeniseringen van de reële getallen, en op de veralgemeniseerde Baire-ruimte. We laten zien dat de theorie heel anders is dan die van de standaard (volledige) topologie. Voorbeelden van verschillen zijn: de ineenstorting van de Borel-hiërarchie, een gebrek aan universele of volledige verzamelingen, de ‘grote fout’ van Lebesgue (projecties verhogen de complexiteit niet), een strikte hiërarchie van noties van analyticiteit, en het falen van de stelling van Suslin.
Ten slotte geven we in Hoofdstuk 7 een filosofische uiteenzetting van de aard van veralgemenisering in de wiskunde, en beschrijven we de methodologische redenen waarom wiskundigen veralgemeniseren. Daarbij onderscheiden we veralgemenisering van andere veranderingsprocessen in de wiskunde, zoals abstractie en domeinuitbreiding. We geven een aantrekkelijke syntactische beschrijving van veralgemenisering, maar laten zien dat die tekortschiet. Uiteindelijk stellen we een semantische beschrijving van veralgemenisering voor, waarbij twee delen van de wiskunde samen een veralgemenisering vormen als ze een bepaalde inhoudelijke relatie hebben, en een verhoogd niveau van algemeenheid.