On Span Programs and Quantum Algorithms
Álvaro Piedrafita

Samenvatting:
Dit proefschrift biedt een diepgaande blik op de theorie en toepassingen van omhulselprogramma's. Deze objecten, die voor het eerst zijn geïntroduceerd in de context van klassieke forktellingprogramma's door Karchmer en Wigderson, vormen een rekenmodel (d.w.z. ze coderen 2-outputfuncties) en kunnen worden gecompileerd naar kwantumquery-algoritmen. Bovendien was het al voor ons werk bekend dat de resulterende op omhulselprogramma's gebaseerde algoritmen zowel query- als ruimteoptimaal kunnen zijn. Het proefschrift is verdeeld in drie delen. Deel I bevat de inleiding en wiskundige voorbereidingen.
In Deel II bespreken we de theorie van omhulselprogramma's, wat betekent dat we de kenmerken en de structuur bestuderen die alle omhulselprogramma's - of tenminste grote families daarvan - gemeen hebben. Het hoofdstuk begint met een bespreking van twee bestaande formuleringen van omhulselprogramma's alvorens een nieuwe formulering voor te stellen die de vorige twee bevat en veralgemeniseert. Het tweede deel van het hoofdstuk presenteert een overvloed aan verschillende kwantumalgoritmen die uit een omhulselprogramma's kunnen worden gecompileerd. Speciale nadruk wordt gelegd op de flexibiliteit van omhulselprogramma's voor het ontwerpen van algoritmen, een eigenschap die vaak ondergewaardeerd wordt. In Hoofdstuk 4 bestuderen we een overeenkomst tussen kwantumqueryalgoritmen en omhulselprogramma's. We concluderen dat er voor een breed assortiment van functies altijd een tijd-, query- en ruimteoptimaal algoritme bestaat dat is ontstaan uit een omhulselprogramma's, en misschien nog wel belangrijker, dat al deze soorten optimaliteit gelijktijdig haalbaar zijn.
In Deel III gebruiken we omhulselprogramma's om kwantumalgoritmen te ontwerpen. In Hoofdstuk 5 gebruiken we het bereikbaarheidsprobleemomhulselprogramma om kwantumalgoritmen te ontwerpen voor graaf-samenhangendheid en andere verwante graafproblemen, waarvan sommige geen beslissingsproblemen zijn. We eindigen het proefschrift in Hoofdstuk 6 met een bespreking van het bereikbaarheidsprobleem als een grensprobleem en een bijzonder voorbeeld van het simpliciale homologieprobleem en we geven omhulselprogramma's (en dus kwantumalgoritmen) voor enkele voorbeelden van dit probleem.