Coalgebraic fixpoint logic Expressivity and completeness result
Fatemeh Seifan

Dit proefschrift bestudeert de expressiviteit en volledigheid van de
coalgebraïsche µ-calculus. Met deze logica, een  coalgebraïsche
generalisatie van de standaard µ-calculus, creëren we een uniform raamwerk
voor verschillende modale dekpuntlogica’s. Ons belangrijkste doel is om te
laten zien dat verscheidene belangrijke resultaten, zoals uniforme
interpolatie, expressieve volledigheid en axiomatische volledigheid van de
standaard µ-calculus kunnen worden gegeneraliseerd naar het niveau van
coalgebra’s. Om dit doel te bereiken ontwikkelen we automaten- en
speltheoretische methodes om eigenschappen van de coalgebraïsche µ-calculus
te bestuderen.

In Hoofdstuk 3 bewijzen we een uniforme-interpolatiestelling voor de
coalgebraïsche µ-calculus. Deze stelling generaliseert een resultaat van
D’Agostino en Hollenberg [DH00] naar een bredere klasse van
dekpuntlogica’s, waaronder de monotone µ-calculus: de uitbreiding van de
monotone modale logica met dekpuntoperatoren. Om dit doel te bereiken
beschouwen we eerst een belangrijke eigenschap van automaten, namelijk
afsluiting onder projectie. We bewijzen dat deze eigenschap, waarvan bekend
is dat deze geldt voor functoren die zwakke pullbacks behouden, ook geldt
voor een bredere klasse van functoren, te weten de functoren met een
zogeheten quasi-functionele lakse relatielifting. Vervolgens laten we zien
dat afsluiting onder projectie impliceert dat de bisimulatiekwantor
definieerbaar is in de taal van de coalgebraïsche µ-calculus. Ten slotte
gebruiken we dit resultaat om een uniforme-interpolatiestelling te bewijzen
voor de coalgebraïsche µ-calculus.

In hoofdstuk 4 generaliseren we de stelling van Janin-Walukiewicz [JW96]
die stelt dat de modale µ-calculus precies het bisimulatie-invariante
fragment van de monadische tweede-orde logica vangt, naar het niveau van
coalgebra’s. Daarvoor introduceren we eerst een notie van coalgebraïsche
monadische tweede-orde logica MSOT voor coalgebra’s van type T. In
navolging van automaten-theoretische benaderingen van de gewone monadische
tweede-orde logica definiëren we een klasse van pariteitsautomaten die
correspondeert met MSOT. Vergelijkbaar met bekende resultaten voor de
monadische tweede-orde-logica over bomen, geven we een vertaling van MSOT
naar deze automaten die waarheidbehoudend is over de klasse van boomachtige
T-coalgebra’s. Vervolgens identificeren we functoren T waarvoor de
coalgebraïsche µ-calculus µMLT overeenkomt met het fragment van MSOT dat
invariant is onder gedragsequivalentie. We benaderen dit op het niveau van
éénstapstalen en laten zien dat het, om een coalgebraïsche
karakteriseringsstelling te bewijzen, voldoende is om een adequate uniforme
constructie voor de functor T te vinden. Als toepassing van dit resultaat
verkrijgen we een gedeeltelijk nieuw bewijs voor de stelling van
Janin-Walukiewicz, en bisimulatie-invariantieresultaten voor de
multiset-functor (gegradeerde modale logica), en alle exponentiële
polynomiale functoren. In het laatste deel van dit hoofdstuk gaan we dieper
in op de monotone omgevingsfunctor M, die een coalgebra¨ısche semantiek
verschaft voor de monotone modale logica. Het blijkt dat er geen adequate
uniforme constructie is voor M. We lossen dit probleem op door een
aangepaste versie van onze algemene karakteriseringsstelling te bewijzen.

In Hoofdstuk 5 bewijzen we een axiomatisch volledigheidsresultaat voor de
coalgebraïsche µ-calculus. Hier volgen we dezelfde lijn als in hoofdstuk 4:
een cruciale rol in onze bewijzen is weggelegd voor automaten en de notie
van éénstapslogica. Door ideeën uit de automatentheorie en de coalgebra toe
te passen, is het ons doel om Walukiewicz’ bewijs van volledigheid voor de
modale µ-calculus [Wal00] te generaliseren naar het niveau van coalgebra’s.
Onze belangrijkste bijdrage is dat we automaten expliciet in de
bewijstheorie onderbrengen. Binnen deze automaten-theoretische benadering
kunnen we twee belangrijke aspecten van de coalgebra¨ısche µ-calculus (en
de standaard µ-calculus) onderscheiden: de éénstapsdynamiek die gecodeerd
ligt in de semantiek van de modale operatoren, en de combinatoriek die een
rol speelt bij het omgaan met geneste dekpuntoperatoren. Dit onderscheid
stelt ons in staat om grotendeels onafhankelijk met deze twee aspecten te
werken. Meer in detail zijn de belangrijkste instrumenten die we gebruiken
in onze automatentheoretische benadering twee soorten spellen voor modale
automaten: het vervulbaarheidsspel en het consequentiespel, en twee
speciale soorten modale automaten: disjunctieve en semi-disjunctieve
automaten. Het consequentiespel tussen twee automaten is een originele
bijdrage van onze aanpak. Het is een oneindig spel voor twee spelers dat
gericht is op het tot stand brengen van structurele verbindingen tussen de
automaten. Naast de disjunctieve automaten die bekend zijn uit het werk van
Janin en Walukiewicz [JW95], definiëren we de klasse van semi-disjunctieve
automaten en laten we zien dat deze semi-disjunctieve automaten, net als de
disjunctieve, een relatief eenvoudige combinatorische sporentheorie hebben
met betrekking tot de vervulbaarheidsen consequentiespellen. Als onze
belangrijkste bijdrage generaliseren we het belangrijkste technische
resultaat van Walukiewicz, namelijk, dat elke formule van de modale
µ-calculus bewijsbaar de vertaling impliceert van een disjunctieve
automaat, naar het niveau van coalgebras. Hieruit volgt de
volledigheidsstelling vrijwel onmiddellijk.