Mixed Schur-Weyl duality in quantum information
Dmitry Grinko 

In dit proefschrift onderzoeken we de wisselwerking tussen representatietheorie en quantuminformatie. We richten ons op gemengde Schur–Weyl-dualiteit, een generalisatie van Schur–Weyl-dualiteit die de werking van de unitaire groep op gemengde tensoren beschouwt. Deze context komt op natuurlijke wijze voor bij quantuminformatietaken die gebruikmaken van unitaire-equivariante kanalen, zoals port-based teleportatie, quantummeerderheidsstemming en universele transpositie van unitaire operatoren.
Een belangrijke bijdrage van dit proefschrift is de expliciete afleiding van de werking van de generatoren van de gedeeltelijk getransponeerde permutatiematrix-algebra in de Gelfand–Tsetlin-basis. Deze algebra is de commutant van de hierboven beschreven gemengde unitaire werking. We geven ook constructies van primitieve en primitieve centrale idempotenten voor deze algebra.
Als een andere belangrijke bijdrage van dit proefschrift ontwikkelen we efficiënte quantumcircuits voor de gemengde quantum-Schur-transformatie, een nieuw primitief in quantuminformatie. Het kernonderdeel van onze constructie bestaat uit nieuwe efficiënte quantumcircuits voor de duale Clebsch–Gordan-transformatie van de unitaire groep.
Een belangrijke toepassing van onze bevindingen is de constructie van efficiënte quantumalgoritmen voor port-based teleportatie, een variant van quantumteleportatie die geen correctieve operaties vereist. Voor ons werk waren efficiënte constructies van port-based teleportatieprotocollen niet bekend. Dit onderstreept het belang van de wiskundige technieken die in dit proefschrift zijn ontwikkeld en die gemengde Schur–Weyl-dualiteit kunnen toepassen in quantuminformatietaken.
We onderzoeken ook het gebruik van de gemengde Schur–Weyl-dualiteit voor symmetrische reductie van semidefiniete optimalisatieproblemen met unitaire equivariantie-symmetrie. Door gebruik te maken van deze symmetrieën laten we zien hoe bepaalde semidefiniete programma’s kunnen worden gereduceerd tot lineaire programma’s van aanzienlijk kleinere omvang.
Tot slot bestuderen we enkele aspecten van de monogamie van quantumverstrengeling. Specifiek onderzoeken we de extensie van quantumtoestanden met unitaire, gemengde unitaire of orthogonale symmetrie op de volledige graaf. Dit omvat het bestuderen van beperkingen op bipartiete verstrengeling van een globale toestand wanneer de twee-partijen marginalen identiek zijn en tot een specifieke symmetrieklasse behoren. We laten analytisch de exacte maximale waarden voor projecties op de maximaal verstrengelde toestand en de antisymmetrische toestand voor elk van de drie symmetrieklassen zien.
Dit proefschrift biedt een solide wiskundige basis voor gemengde Schur–Weyl-dualiteit en toont de bruikbaarheid ervan aan in quantuminformatie en quantumcomputing. We verwachten dat onze technieken en algoritmen zullen bijdragen aan het aanpakken van andere problemen in andere gebieden van quantuminformatie, zoals quantumcommunicatie, quantumcryptografie en quantumsimulatie.