Provability Logic and Admissible Rules. Doctoral thesis, University of Amsterdam
Rosalie Iemhoff

Samenvatting:

Dit proefschrift bestaat uit twee delen. In het eerste deel wordt de intuïtionistische bewijsbaarheidslogica bestudeerd en in het tweede deel de intuïtionistische propositielogica. Hieronder schetsen we heel kort, in een notendop, waarover deze gebieden gaan, waarbij we technische termen zullen vermijden.

Intuïtionistische bewijsbaarheidslogica en intuïtionistische propositielogica zijn beide gebaseerd op intuïtionistische logica. Intuïtionistische logica is een tegenhanger van klassieke logica. Klassieke logica gaat over logische waarheden. Een uitdrukking ∃x A(x) betekent: er is een x zodat A(x) geldt (hierbij is A(x) een bewering over x, bijvoorbeeld ‘x is een even getal dat niet de som is van twee priemgetallen’). Nu is er, in de wiskunde, een nauw verband tussen waarheden en constructies; de waarheid van een bewering wordt aangetoond via een bewijs van die bewering, en een bewijs is een constructie. Het intuïtionisme sluit aan bij deze verwantschap. Hier betekent ∃x A(x): we kunnen een object x construeren zodat A(x) geldt. Dus in intuïtionistische logica zeg je dat ∃x A(x) geldt als je daadwerkelijk een even getal hebt geconstrueerd dat niet de som is van twee priemgetallen, terwijl je om in klassieke logica te weten dat ∃x A(x) geldt alleen maar hoeft uit te sluiten dat alle even getallen de som van twee priemgetallen zijn. Het is een subtiel verschil, maar het is een verschil.
De overeenkomsten en verschillen tussen klassieke en intuïtionistische waarheden vertellen je veel over de manier waarop de geldigheid van een bewering wordt ingezien. Sommige wiskundigen beschouwen alleen die uitspraken als waar die waar zijn volgens de intuïtionistische wijze van redeneren. Zo iemand was bijvoorbeeld de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer, de grondlegger van het zogenaamde intuïtionisme. Voor anderen is het werken met deze vorm van redeneren een manier om het idee erachter, namelijk het constructieve karakter van waarheden, beter te begrijpen.
De twee genoemde gebieden, intuïtionistische propositielogica en intuïtionistische bewijsbaarheidslogica, zijn respectievelijk propositielogica en bewijsbaarheidslogica gebaseerd op de intuïtionistische wijze van redeneren. Nu we een idee hebben van die intuïtionistische basis bespreken we in het kort de gebieden zelf. Propositielogica bestudeert de meest simpele manier van redeneren. Het beperkt zich tot eenvoudige uitdrukkingen, zoals (p -> q) (uit p volgt q), of (p ^ q) (p en q), waarbij p en q voor beweringen staan. In intuïtionistische propositielogica worden de eigenschappen van dit soort beweringen bestudeerd. Hoewel dit systeem heel simpel is, zijn er toch allerlei interessante vragen over te stellen. Het beantwoorden van die vragen is een van de manieren om inzicht te verkrijgen in de intuïtionistische, constructieve wijze van redeneren.
Bewijsbaarheidslogica gaat over ingewikkelder uitdrukkingen en complexere systemen. In de wiskunde heb je formele systemen die bepaalde wiskundige structuren beschrijven. Zo'n formeel systeem kan bijvoorbeeld over de natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, ... gaan. De bekende wiskundige Gödel liet echter in 1931 zien dat die systemen ook over zichzelf kunnen praten (zoals een schilderij zichzelf tot onderwerp kan hebben). Het kan beweringen als ‘dit systeem bewijst dit-en-dat’ bewijzen, en daarmee bewijst het iets over zichzelf. Het interessante is echter dat ze sommige eigenschappen van zichzelf wel kunnen zien (kunnen bewijzen) en andere niet. In de bewijsbaarheidslogica wordt bestudeerd wat zo'n systeem wel en niet van zichzelf kan begrijpen. In intuïtionistische bewijsbaarheidslogica zijn de systemen waarvoor deze vraag wordt bekeken gebaseerd op intuïtionistische logica.
Sommige begrippen uit de wiskunde zijn pas goed te begrijpen wanneer zij precies zijn gedefinieerd. Dit komt doordat een informele uitleg de subtiliteit van een notie vaak verdoezelt. Dit geldt zeker voor bewijsbaarheidslogica, en eigenlijk ook voor logica in het algemeen. Desalniettemin geeft het bovenstaande wellicht een indruk van de gebieden waarover dit proefschrift gaat.