Quantum versus classical resources in computational complexity
Jordi Rudo Weggemans

Deze dissertatie onderzoekt de wisselwerking tussen kwantum- en klassieke computationele middelen vanuit het perspectief van de computationele complexiteitstheorie. De tekst is opgebouwd uit drie delen, die elk een ander aspect van dit onderwerp behandelen.

Deel I richt zich op laagenergetische toestanden van kwantumsystemen, die een belangrijke rol spelen in kwantumveeldeeltjessystemen en kwantumchemie. We bestuderen de complexiteit van het schatten van grondtoestands- en aangeslagen energieniveaus van lokale Hamiltonianen, gegeven toegang tot een zogenaamde hulptoestand met niet-verwaarloosbare overlap met de relevante eigensubruimte. In Hoofdstuk 3 formaliseren we verschillende toegangstypen tot zulke hulptoestanden en onderzoeken we hun eigenschappen en onderlinge relaties. In Hoofdstuk 4 tonen we aan dat deze taak voor bepaalde fysisch gemotiveerde 2-lokale Hamiltonianen BQP-compleet is voor een breed scala aan parameters. We laten ook zien dat, wanneer we slechts het bestaan van de hulptoestand veronderstellen (zonder expliciete toegang ertoe), het probleem QCMA-compleet wordt. Onder gebruikelijke aannames in de computationele complexiteitstheorie laten deze resultaten zien dat er een praktisch gemotiveerde setting bestaat, in de context van het berekenen van grondtoestandsenergieniveaus, waarin kwantumcomputers aantoonbaar superpolynomiaal efficiënter zijn dan klassieke computers. In Hoofdstuk 5 onderzoeken we of beschrijvingen van grondtoestanden kunnen worden verkregen met toegang tot een QMA-orakel. In de meest algemene vorm komt dit neer op het vinden van een kwantumbewijs voor een willekeurig probleem in QMA. Hoewel bekend is dat dit niet mogelijk is ten opzichte van een orakel, tonen we aan dat het wel mogelijk is om klassieke benaderingen van alle lokale gereduceerde dichtheidsmatrices van een bijna-optimaal bewijs te berekenen met een efficiënt klassiek algoritme dat toegang heeft tot een QMA-orakel.

Deel II richt zich op kwantum-probabilistisch verifieerbare bewijssystemen (QPCP-systemen). In Hoofdstuk 6 definiëren we een algemene klasse van QPCP’s waarin adaptiviteit en meerdere niet-verstrengelde bewijzen zijn toegestaan. Via kwantumreducties tonen we aan dat deze systemen equivalent zijn aan lokale Hamiltoniaanproblemen met een constante beloftescheiding. Hieruit volgt onder meer dat adaptiviteit geen extra kracht toevoegt in dit model, en dat constante-query QPCP’s voor QMA(2) impliceren dat QMA= QMA(2). In Hoofdstuk 7 bestuderen we kwantum-klassieke PCP’s (QCPCP’s), waarin een kwantumverifieerder ofwel klassieke ofwel kwantumqueries mag uitvoeren naar een klassiek bewijs. We tonen aan dat elke constante kwantum-query QCPCP met inverse-polynoom-beloftescheiding kan worden gesimuleerd door een klassieke constante-query QCPCP met constante-beloftescheiding. De corresponderende klasse van problemen ligt in BQ·NP, de klasse van belofteproblemen die via een kwantumreductie herleidbaar zijn tot 3-SAT. Deze resultaten geven sterke aanwijzingen dat het onwaarschijnlijk is dat alle problemen in QCMA kunnen worden opgelost met behulp van kwantum-klassieke PCP’s.

Deel III onderzoekt alternatieve complexiteitsmaten, in het bijzonder unitaire querycomplexiteit en samplecomplexiteit. In Hoofdstuk 8 introduceren we een algemene techniek om ondergrenzen te bewijzen voor unitaire querycomplexiteit via reducties naar unitaire kanaaldiscriminatie. Deze techniek blijft geldig in de aanwezigheid van kwantumadvies of -bewijzen. Als direct gevolg tonen we het bestaan aan van kwantumorakels ten opzichte waarvan QMA(2) niet in SBQP en QMA/qpoly niet in SBQP. In Hoofdstuk 9 introduceren en analyseren we een zogenaamde complement sampling-taak, waarvoor we aantonen dat een klassieke computer een exponentieel aantal samples nodig heeft, terwijl een kwantumcomputer de taak kan oplossen met slechts één kwantumsample. Dit resulteert in de maximaal mogelijke scheiding tussen klassieke en kwantum-samplecomplexiteit. Daarnaast laten we zien dat, onder standaard cryptografische aannames, de taak efficiënt verifieerbaar is, klassiek moeilijk is en uitvoerbaar is op relatief eenvoudige kwantumapparatuur. Hiermee bieden we een nieuw scenario waarin quantumtechnologie taken kan uitvoeren die klassiek praktisch onuitvoerbaar zijn.