Extension Problems in Intuitionistic Plane Projective Geometry Dirk van Dalen In dit proefschrift worden, van intuïtionistisch standpunt, een aantal uitbreidingsproblemexi bestudeerd. Aanleiding hiertoe was het artikel van Professor Heyting, waarin de uitbreiding van een affien vlak tot een projectief vlak geconstrueerd werd. In de intuïtionistische affiene meetkunde kan men niet volstaan met de toevoeging van oneigenlijke punten en de oneigenlijke rechte, omdat ook die punten en lijnen toegevoegd moeten worden, waarvan het onbekend is of ze oneigenlijk zijn. Hier worden projectieve punten ingevoerd,naar het voorbeeld van [Heyting], als waaiers van affiene lijnen (definition lO). Behalve de waaiers van snijdende lijnen en van evenwijdige lijnen komen hier bovendien waaiers voor, bestaande uit lijnen, waarvan het onbekend is of zij elkaar snijden. Voor het bewijs van de axiomas van het projectieve vlak werden in [Heyting] drie nieuwe axiomas ingevoerd. Twee daarvan zijn hier (theorem 4, theorem 5) afgeleid uit de axiomas van het affiene vlak. Het is niet bekend of het derde axioma (A3) afgeleid kan worden uit de axiomas A1-A7. Na toevoeging van de axiale stelling van Pappos aan het axiomastelsel blijkt A8 afleidbaar te zijn (theorem 6). Hoewel het onzeker is of elk affien vlak een projectieve uitbreiding bezit, kunnen wij wel bewijzen dat een projectieve uitbreiding, indien deze bestaat, eenduidig bepaald is op isomorfìe na (theorem 2, corollary). Het tweede uitbreidingsprobleem behelst de constructie van een projectief vlak over een gegeven ternair lichaam. De axiomas van het ternaire lichaam met verwijderingsrelatie werden voor het eerst aangegeven door Professor Heyting in zijn college "Intuïtionistische projectieve meetkunde", 1956-1957. In de klassieke wiskunde voert men een aantal soorten punten en lijnen in. Deze methode faalt echter bij een intuïtionistische behandeling. Men kan bij voorbeeld niet altijd uitmaken van welke soort de lijn is, die twee van elkaar verwijderde punten bepalen. Dit bezwaar doet zich hier reeds voor bij de constructie van een affien vlak over een ternair lichaam. De constructie van een projectief vlak is wel mogelijk langs algebraïsche weg als het ternaire lichaam een alternatief lichaam of een scheef lichaam is. Wanneer men aanneemt dat een ternair lichaam een affien vlak bepaalt, dan is dat vlak op, isomorfie na, eenduidig bepaald (theorem 12, corollary). Het laatste deel van het proefschrift behandelt de ordening in een projectief vlak. In [3] werd de pseudo-ordening op de affiene rechte afgeleid uit de cyclische ordening van het vlak. Hier is, uitgaande van een pseudo-geordend ternair lichaam een cyclische ordening op het projectieve vlak gedefinieerd. In verband met het voorgaande was het daarbij noodzakelijk te veronderstellen dat het ternaire lichaam een projectief vlak bepaalt. Bij de behandeling van dit probleem werd gebruik gemaakt van het manuscript van [9], welwillend beschikbaar gesteld door de auteur.