Computations in Propositional Logic Lex Hendriks Dit proefschrift doet verslag van een onderzoek naar de semantiek van de intuitionistische en de modale propositielogica. Dit onderzoek is voor een belangrijk deel geinspireerd en mogelijk gemaakt door het experimenteren met computerprogramma's. De oudste van deze computerprogramma's zijn zogenaamde stellingtesters, programma's waarmee kan worden uitgerekend of uit een bewering A de bewering B logisch volgt. Daarbij wordt alleen gebruik gemaakt van de vorm van de beweringen A en B. De computer hoeft dan geen verstand te hebben van sterren- kunde, om uit de bewering `De Maan is niet van groene kaas' af te leiden: `Als de Maan van groene kaas is, dan draait Venus om de Aarde'. In Hoofdstuk 6 worden diverse programma's beschreven om, voor verschillende logische systemen, te berekenen of B uit A volgt. De belangrijkste onderdelen van deze programma's zijn opgenomen in Appendix A. Door de formele taal van de propositielogica, waarin de beweringen kunnen worden geformuleerd, voldoende te beperken krijgt men een zogenaamd fragment waarin slechts eindig veel logisch verschillende beweringen mogelijk zijn. Voorbeelden van de beperkingen die men kan opleggen zijn het toelaten van slechts eindig veel basisbeweringen en het verbieden van een of meerdere van de connectieven (voegwoorden) uit de rij `en' ($\en$), `of' ($\of$), `als...dan' ($\imp$), `niet' ($\not$), `mogelijk' ($\diamond$) en `noodzakelijk' ($\box$. Daarbij maakt het ook nogal wat verschil welke logische afleidingsregels men in het fragment toelaat. Zo heeft $[\en,\of,\imp,\not]^1_{CpL}$, het fragment uit de klassieke propositie- logica logica met precies 1 basisbewering en met als connectieven “`en', `of', `als..dan' en `niet', vier echt verschillende beweringen ($A$, $\not A$, $A \en \not A$ en $A \imp A$). Maar het fragment $[\en,\of,\imp,\not]^1_{IpL}$ in de intuitionistische propositielogica, IpL, telt oneindig veel verschillende beweringen. Dit geldt voor alle fragmenten in IpL die zowel — $\of$ als $\imp$ bevatten. Als er maar eindig veel verschillende beweringen in een fragment zijn, kunnen we, in principe, alle echt verschillende beweringen uit het fragment berekenen, met behulp van een computerprogramma dat kan uitmaken of een bewering A gelijkwaardig is met de bewering B. Ook de onderlinge relaties tussen deze beweringen (wat volgt er uit wat) kunnen we op die manier in kaart brengen. Zo'n kaart van een fragment, met daarop alle beweringen uit het fragment en hun onderlinge relaties, noemen we in dit proefschrift een diagram. Hieronder is een voorbeeld van zo'n diagram getekend, in dit geval van het fragment $[\en,\of,\not]$ in de intuitionistische propositielogica, met basisbewering p: o $p \en \not p$ / \ / \ p o $\not p$ / \ / / \ / $\not \not p$ o o $p \of \not p$ \ / \ / o $\not p \of \not \not p$ | | o $p \imp p$ In dit voorbeeld kan het diagram nog met de hand worden berekend. Voor diagrammen met meer dan twintig beweringen is dat al haast niet meer doenlijk en moet bijvoorbeeld een beroep gedaan worden op een van de eerder genoemde stellingtesters. Uit de eerste experimenten met het berekenen van diagrammen met deze stellingtesters, eind jaren zeventig en begin jaren tachtig, bleek al snel dat zo alleen `kleine' fragmenten (met hooguit zo'n honderd echt verschillende beweringen) in redelijke tijd in kaart te brengen zijn. Exacte modellen Gelukkig bestaat er ook een alternatief voor de stellingtesters, namelijk programma's die gebruik maken van exacte Kripke­modellen. Kripke­modellen zijn in de intuitionistische en modale logica bekende hulpmiddelen om bijvoorbeeld situaties (en hun onderlinge relaties) mee te beschrijven waarin een bepaalde bewering A geldt en de bewering B juist niet. Dat geeft dan een tegenvoorbeeld tegen de bewering dat B uit A volgt. Een exact Kripke­model van een fragment beschrijft precies alle tegen- voorbeelden die we nodig hebben om voor een fragment uit te maken voor welke beweringen geldt dat B uit A volgt. Elke bewering uit het fragment heeft in het exacte Kripke­model een gebied waar deze bewering geldig is. Als het gebied waar A geldig bevat is in het gebied waar B geldt, dan is B blijkbaar een logisch gevolg van A. Het berekenen van diagrammen van fragmenten met behulp van exacte modellen gaat vele malen sneller dan met behulp van de eerder genoemde stellingtesters. Lang niet alle fragmenten hebben echter een exact Kripke­model (de situatie in IpL is weergegeven in figuur 1 in hoofdstuk 1). Daar staat tegenover dat we veel fragmenten kunnen beschouwen als onderdeel van een fragment dat wel een exact model heeft. Voorbeelden van de berekeningen van diagrammen met behulp van exacte modellen zijn opgenomen in Appendix B. Hoofdstuk 3 van dit proefschrift is gewijd aan de berekening van de diagrammen van de eindige fragmenten in de intušitionistische propositie logica. Daarbij wordt niet alleen gebruik gemaakt van exacte Kripke­modellen, bij de fragmenten die zich daarvoor lenen wordt ook aangegeven hoe deze exacte modellen kunnen worden geconstrueerd. Zoals uit de tabel in Appendix C blijkt worden de diagrammen van eindige fragmenten van IpL al bij een klein aantal basisbeweringen in het algemeen al snel astronomisch groot. Het werkelijk laten berekenen van de formules die bij de verschillende beweringen uit de fragmenten horen is in dat geval praktisch uitgesloten en het inzicht in de structuur van de exacte Kripke­modellen is dan vooral van theoretisch belang. In de modale logica levert, ook met een eindig aantal basisbeweringen, het beperken van de gebruikte voegwoorden in het algemeen nog geen eindige fragmenten op. Een bekende ingreep om toch te komen tot eindige diagrammen is het beperken van de mate waarin het `mogelijk' en `noodzakelijk' in een bewering gestapeld voorkomen. Bij een grens van 'e'en zou bijvoorbeeld de bewering 22A (het is noodzakelijk dat het noodzakelijk is dat A') niet meer tot het fragment horen. In Hoofdstuk 4 van dit proefschrift wordt iets soortgelijks gedaan voor de intuitionistische propositielogica. Door het beperken van de stapeling van $\imp$ leidt het samenspel van `of' ($\of$) en `als..dan' ($\imp$) ook in IpL niet langer tot oneindig veel verschillende beweringen. Aangetoond wordt hoe voor deze fragmenten met beperkte stapeling van de implicatie exacte Kripke­ modellen geconstrueerd kunnen worden. Semantische typen Om de exacte modellen voor fragmenten van propositielogica's te kunnen berekenen is nader onderzocht welke situaties en relaties nodig zijn om alle gewenste tegenvoorbeelden in een Kripke­model te kunnen weergeven. Wat maakt, met andere woorden, een bewering geldig in een bepaalde situatie in een Kripke­model? Het antwoord op deze vraag hangt af van de logica en van het fragment binnen die logica waarmee we werken. In het algemeen kunnen we een volledig beeld geven van een situatie met behulp van een opsomming van de basisbeweringen die er gelden, samen met een overzicht van de andere situaties die vanuit deze situatie `denkbaar' zijn. De combinatie van deze opsommingen noemen we een semantisch type. Situaties die voor een bepaald fragment van een propositielogica hetzelfde semantische type hebben, gedragen zich logisch gezien eender en er gelden dezelfde beweringen uit het fragment. Het opsporen van de semantische typen voor een bepaald fragment blijkt een heel geschikte methode om een Kripke­ model te maken waarin alle voor een fragment nodige tegenvoorbeelden voorhanden zijn. Vaak is zo'n model te groot om een mooi exact Kripke­model te zijn, maar als basis voor een computerprogramma om een diagram mee te berekenen voldoet het prima. In Hoofdstuk 2 van dit proefschrift wordt de theorie over de semantische typen uiteengezet en in verband gebracht met een aantal reeds bekende resultaten over modellen en beweringen uit de klassieke, de intušitionistische en de modale propositielogica. Formele rekenkunde In Hoofdstuk 5 van het proefschrift wordt de theorie van de semantische typen toegepast op een probleem uit de formele rekenkunde, de Peano­rekenkunde PA. In de rekenkundige taal zelf kunnen we de bewering formuleren dat een rekenkundige zin bewijsbaar is. Als A een rekenkundige bewering is, dan wordt de rekenkundige bewering `bewijsbaar A' ook wel geschreven als 2A. De regels die voor deze vorm van `bewijsbaarheid' gelden vormen een bijzondere modale propositielogica, de bewijsbaarheidslogica L. Nemen we voor een basisbewering p in de bewijsbaarheidslogica een bepaalde rekenkundige zin (bijvoorbeeld `7 heeft 64 verschillende delers'), dan noemen we de verzameling beweringen die we kunnen maken in het fragment van L met 1 basisbewering en die geldig zijn in de rekenkunde als we voor de basisbewering een rekenkundige zin nemen, de L^1­theorie van die rekenkundige zin. Een L^1­theorie heeft als axioma de bewering A, als A zelf een bewering uit de theorie is en alle andere beweringen in de theorie logische gevolgen zijn van A. Zelfs bij een beperking van het fragment van L waarbij alleen beweringen worden toelaten waarin $\box$ maar 1 keer gestapeld mag voorkomen (de stapel- grens in dit fragment is dus 2), was tot voor kort niet bekend hoeveel verschillende axioma's voor L^1_2­theoriešen er zijn. Zoals in Hoofdstuk 5 wordt aangetoond (en uiteindelijk met de computer kon worden berekend) zijn er precies 62 verschillende axioma's voor dit soort theorieen. Net als bij het berekenen van het aantal verschillende beweringen in de eindige fragmenten van IpL is zo'n getal als uitkomst uiteindelijk niet het belangrijkste. Wat telt is dat we zoveel inzicht hebben gekregen in de structuur van fragmenten van propositielogica's dat we computerprogramma's kunnen maken om dergelijke berekeningen uit te voeren.