Quantum Algorithms and Learning Theory Srinivasan Arunachalam Samenvatting: In dit proefschrift worden resultaten gepresenteerd in twee onderzoeksrichtingen. In het eerste deel bestuderen we {query en gate-complexiteit} van quantumalgoritmes voor bepaalde problemen. Het tweede deel omvat {sample en query-complexiteit} van quantum machine learning algoritmes. Deel I: Quantum algoritmes In het eerste deel behandelen we drie bijdragen aan quantumalgoritmes, die we hier kort samenvatten. Hoofdstuk 3. We bekijken het volgende simpele zoekprobleem: er is een onge -structureerde database van N elementen en 'e'en van de elementen is ``gemarkeerd''. Het doel is om het gemarkeerde element te vinden. Om dit op te lossen mogen we queries doen die ons vertellen of een element gemarkeerd is, en we willen graag zo min mogelijk van deze queries doen. Voor een klassiek algoritme kost het in het ergste geval N queries om het gemarkeerde element te vinden. Grover heeft een quantumalgoritme bedacht dat dit probleem oplost met O(sqrt{N}) quantum queries en O( sqrt{N} log N) andere elementaire gates. Het is bekend dat het aantal benodigde queries om dit probleem op te lossen Omega(sqrt{N}) is, dus Grovers algoritme kan niet worden verbeterd wat betreft het aantal queries. In dit hoofdstuk beschrijven we een nieuw quantumalgoritme om dit zoekprobleem op te lossen met een gate-complexiteit van ongeveer O(sqrt{N}) en met dezelfde query-complexiteit als Grovers algoritme. Hoofdstuk 4. Naast quantumalgoritmes zijn er quantum query-ondergrenzen. Deze laten zien dat elk quantum algoritme minimaal een bepaald aantal queries moet doen om een probleem op te lossen. In deze richting bestaan twee bekende technieken om ondergrenzen aan te tonen. Dit zijn de polynoom-methode en de {adversary} methode. De adversary methode staat bekend om zijn karakterisatie van quantum query-complexiteit omdat het ook bovengrenzen geeft op het aantal benodigde queries. Een natuurlijke vraag is of de polynoom-methode ook bovengrenzen kan geven. In dit hoofdstuk geven we een positief antwoord op deze vraag door het introduceren van de zogeheten ``completely bounded approximate degree" (afgekort cbdeg) van een Booleaanse functie. We laten zien dat voor een Booleaanse functie f , de cbdeg(f) gelijk is aan de quantum query-complexiteit van f . Onze beknopte karakterisatie van quantumalgoritmes in termen van polynomen ver -fijnt niet alleen de polynoommethode maar geeft ook nieuwe technieken om onder- en bovengrenzen te bepalen voor query-complexiteit. Hoofdstuk 5. Optimalisatie is in praktisch alle gebieden van de wetenschap belangrijk. Laat f: R^d -> R en beschouw het optimalisatieprobleem OPT = min { f(x) : x in R^d } . Een generieke techniek om OPT uit te rekenen is het gradient descent algoritme. In dit algoritme wordt de gradient van f in x (uitgerekend nabla f(x)) om zo naar een punt x' in de richting van -nabla f(x) te gaan. Dit wordt een aantal keer herhaald om hopelijk een goede benadering van OPT te vinden. Vanwege de eenvoud en algemeenheid van dit algoritme komen gradient descent methoden overal in machine learning algoritmes voor. Een belangrijke stap van dit algoritme is de berekening van de gradient. Kan deze berekening worden versneld met quantum technieken? In dit hoofdstuk ont -wikkelen we een quantumalgoritme dat de gradient van f kwadratisch sneller uitrekent dan de klassieke methode. Om in elke coordinaat een eps -benadering te verkrijgen van de d-dimensionale gradientvector nabla f in x, voldoet het om O(sqrt{d}/ eps) queries te doen naar de functie f . Door ons quantum gradientalgoritme met andere quantumalgoritmes te combineren verkrijgen we een kwadratische verbetering voor de complexiteit van bijna alle gradient descent optimalisatiealgoritmes. Deel II: Quantum learning theorie In het tweede deel geven we twee bijdragen aan de quantum learning theorie, hier kort samengevat. Hoofdstuk 6. Door de explosieve toename van de beschikbaarheid van data is machine learning erg groot geworden. Daarnaast is er in de laatste paar jaar ook interesse ontstaan voor quantum machine learning, een interdisciplinair vakgebied dat de kracht van quantummechanica gebruikt om machine learning algoritmes te verbeteren. In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de theoretische kant van quantum machine learning: de quantum leertheorie. We geven de voornaamste resultaten die bekend zijn voor drie modellen van learning voor zowel klassieke als quantum data: exact leren via membership queries, het probably approximately correct (PAC) model, en het agnostisch leren model. Naast de informatietheoretische resultaten beschouwen we ook resultaten over de tijdcomplexiteit van het leren in deze modellen. Hoofdstuk 7. Het PAC model van Leslie Valiant geeft een complexiteitstheoretische definitie van wat het voor een conceptklasse C (een verzameling Booleaanse functies) betekent om efficient leerbaar te zijn. In het PAC model is het doel om een benadering van een onbekende functie uit C te leren door het bekijken van willekeurige voorbeelden van deze functie. Het is bekend dat het aantal voorbeelden dat noodzakelijk en voldoende is om C te PAC-leren gegeven wordt door een combinatorische parameter, de VC-dimensie van C. In dit hoofdstuk stellen we de vraag of het quantum PAC-leren van C met minder quantum-voorbeelden kan. We geven een negatief antwoord door te laten zien dat het aantal benodigde samples in dit geval ook gelijk is aan de VC-dimensie van C. We beschouwen realistischere en flexibelere versies van PAC-leren zoals agnostisch leren en leren met ruis. In beide modellen laten we zien dat quantum-voorbeelden niet krachtiger zijn dan klassieke samples.