Quantum Fine-Grained Complexity
Subhasree Patro 

Samenvatting:

De wereld investeert in kwantumcomputers vanwege zogenaamde kwantumversnellingen: kwantumalgoritmen kunnen veel rekenproblemen sneller oplossen dan hun klassieke tegenhangers. In hoeverre zo’n versnelling mogelijk is, is echter voor ieder rekenprobleem anders. Naar verwachting zullen kwantumcomputers nog voor lange tijd een duur hulpmiddel blijven, en de mate waarin een kwantumversnelling mogelijk of onmogelijk is, kan ooit de sleutelfactor worden bij de beslissing om wel of niet te investeren in kwantumcomputers, bijvoorbeeld in een industriële context. Zodoende is het essentieel te begrijpen hoeveel kwantumversnelling te behalen valt bij een specifiek rekenprobleem, en hiertoe zijn scherpe boven- en ondergrenzen voor zowel klassieke als kwantumalgoritmen noodzakelijk.
Jammer genoeg is een van de grootste uitdagingen in het vakgebied van de complexiteitstheorie ons onvermogen om onvoorwaardelijke bovengrenzen voor de benodigde rekentijd te bewijzen, ook bij praktische problemen in de complexiteitsklasse P. Eén manier om deze uitdaging uit de weg te gaan, is de studie van fine-grained complexiteit waarbij we speciale reducties gebruiken om tijdsondergrenzen te bewijzen voor vele diverse problemen in P, op basis van de vermoede moeilijkheid van enkele kernproblemen. Bijvoorbeeld: het berekenen van de bewerkingsafstand tussen twee tekenreeksen, een probleem dat van belang is bij de vergelijking van twee DNA-strengen, kent een algoritme dat Opn2 q tijd nodig heeft. Door een finegrained reductie te gebruiken, kan worden aangetoond dat snellere algoritmen voor het berekenen van de bewerkingsafstand ook een sneller algoritme impliceren voor het booleaanse vervulbaarheidsprobleem (SAT, naar het Engelse satisfiability problem) — waarvan men gelooft dat het niet bestaat — en dit is een sterke aanwijzing dat het zeer moeilijk is om bewerkingsafstanden sneller te berekenen. Naast SAT, 3SUM en APSP bestaan er andere dergelijke kernproblemen die zeer geschikt zijn om te gebruiken als basis te voor zulke reducties, omdat ze een natuurlijke beschrijving kennen en goed bestudeerd zijn.
De situatie in het kwantumregime is niet veel beter: vrijwel alle ondergrenzen voor kwantumalgoritmen zijn gedefineerd in termen van query-complexiteit, wat niet heel nuttig is bij problemen waarvoor de best bekende algoritmen superlineaire tijd vereisen, of bij problemen waarvoor de beste query-algoritmen niet tijdsefficiënt zijn. Om deze reden lijkt de inzet van fine-grained reducties het meest voor de hand liggend in de kwantumcontext. Niettemin is een directe vertaling van klassieke finegrained reducties naar het kwantumregime niet altijd mogelijk, om uiteenlopende redenen. In dit proefschrift beschouwen we enkele van deze moeilijkheden en presenteren we resultaten waarin we deze weten te omzeilen. Bijgevolg bewijzen we kwantum-tijdsondergrenzen voor vele problemen in BQP, onder de voorwaarde van de vermoede kwantummoeilijkheid van de problemen SAT (en diens varianten), 3SUM en APSP.