Logical Structure of Constructive Set Theories
Robert Paßmann

Een formeel systeem kan tautologieën of toelaatbare regels hebben, die zijn onderliggende logica niet heeft. Diaconescu, Goodman en Myhill toonden bijvoorbeeld aan dat elke verzamelingenleer die de axioma's (en schema's) van extensionaliteit, lege verzameling, paar, afscheiding en keuze bevat, de wet van de uitgesloten derde bewijst -- zelfs als die verzamelingenleer gebaseerd is op intuïtionistische logica.

Het doel van dit proefschrift is, grofweg, situaties te bestuderen waar dit niet het geval is: we laten zien dat veel intuïtionistische en constructieve verzamelingenleren getrouw zijn aan hun onderliggende logica. We zeggen dat een formeel systeem (propositioneel/eerste-orde) tautologiegetrouw is als zijn (propositionele/eerste-orde) tautologieën precies die van zijn onderliggende logica zijn. We noemen een formeel systeem (propositioneel/eerste-orde) regelgetrouw als zijn (propositionele/eerste-orde) toelaatbare regels precies die van zijn onderliggende logica zijn.

Met behulp van Kripke-modellen met klassieke domeinen tonen wij aan dat de intuïtionistische Kripke--Platek verzamelingenleer (IKP) eerste-orde tautologiegetrouw is (hoofdstuk 4). Bovendien introduceren we realiseerbaarheid gebaseerd op Ordinal Turing Machines waarmee we kunnen aantonen dat IKP ook propositioneel regelgetrouw is (hoofdstuk 7). Deze notie van realiseerbaarheid is ook toepasbaar voor het realiseren van verzamelingenleren op basis van oneindige logica.

We introduceren gemengde modellen ("blended models") voor intuïtionistische Zermelo--Fraenkel verzamelingenleer (IZF) om aan te tonen dat dit systeem propositioneel tautologiegetrouw is (hoofdstuk 5). Een variant van deze techniek is nuttig om de toelaatbare regels van verschillende constructieve verzamelingenleren te bestuderen en te bewijzen dat ze propositioneel regelgetrouw zijn (Hoofdstuk 6).

Tenslotte bewijzen we ook dat constructieve Zermelo--Fraenkel verzamelingenleer (CZF) zowel eerste-orde tautologiegetrouw alsook propositioneel regelgetrouw is (hoofdstuk 8). Daartoe introduceren we een nieuwe notie van transfiniete berekenbaarheid, de zogenaamde verzameling-gebaseerde register machines (Set Register Machines). We combineren de resulterende notie van realiseerbaarheid met Beth modellen om aan te tonen dat CZF eerste-orde tautologiegetrouw is.