Empowering Quantum Computation with: Measurements, Catalysts, and Guiding States
Marten Folkertsma

In de afgelopen tien jaar is er flinke vooruitgang geboekt in de ontwikkeling van zogeheten quantumcomputers. Computers die gebruikmaken van het spooky gedrag van de allerkleinste deeltjes. Dit jaar zijn bijvoorbeeld de eerste experimentele ruisonderdrukkende systemen geïmplementeerd. In deze systemen worden fouten die tijdens een berekening ontstaan gedetecteerd en gecorrigeerd. Zulke fouten komen vaak voor bij quantumsystemen, doordat quantuminformatie inherent kwetsbaar is. 

Toch zijn we nog ver verwijderd van een volledig stabiele quantumcomputer, die gebruikt kan worden om volledige quantumberekeningen uit te voeren. Dit roept de volgende vraag op:

  Zijn er computationele hulpmiddelen die de ontwikkeling van quantumcomputers kunnen vergemakkelijken?

In deze thesis identificeren we drie specifieke fases in de ontwikkeling van quantumcomputers. Voor elk van die drie fases stellen we een hulpmiddel voor dat de rekenkracht van de quantumcomputer kan versterken. We onderzoeken deze hulpmiddelen met behulp van de complexiteitstheorie. Hoewel we deze hulpmiddelen in hun context bestuderen, zijn ze breder inzetbaar in de ontwikkeling van quantumcomputers.

In het eerste deel van dit proefschrift kijken we naar quantumberekeningen die nog geen gebruik kunnen maken van ruisonderdrukking. Deze fase heeft twee kenmerken. Ten eerste kunnen alle fysiek aanwezige qubits worden gebruikt om een berekening uit te voeren. Ten tweede is de toegestane diepte van de berekeningen zeer beperkt, doordat in diepere berekeningen te veel ruis ontstaat. Door deze beperking is het alleen mogelijk om constantedieptecircuits uit te voeren. Dit type circuits is zeer beperkt in zijn computationele kracht. Het is bijvoorbeeld niet mogelijk om qubits die niet bij elkaar in de buurt liggen te verstrengelen. 

Het eerste hulpmiddel dat we bespreken in dit proefschrift is erop gericht om de computationele kracht van deze constantedieptecircuits te versterken. We versterken deze circuits door ze af te wisselen met tussentijdse metingen van een deel van de qubits en snelle tussentijdse klassieke berekeningen toegepast op de uitkomst van deze metingen. Om de impact van dit nieuwe hulpmiddel te bestuderen, introduceren we een nieuw computationeel model geheten: \emph{Local Alternating Quantum Classical Computations} (afgekort LAQCC). In dit deel laten we zien dat er veel meer berekeningen mogelijk zijn in LAQCC ten opzichte van constantedieptecircuits, wat aantoont dat dit hulpmiddel de computationele kracht van constantedieptecircuits inderdaad aanzienlijk vergroot.

In het tweede deel van dit proefschrift kijken we naar de kracht van quantumcomputers die toegang hebben tot ruisonderdrukking die zich nog in een vroeg stadium bevindt. Deze fase wordt gekenmerkt door stabiele qubits, waarop lange berekeningen kunnen worden uitgevoerd zonder dat er fouten ontstaan, met als limiterende factor dat een machine alleen toegang heeft tot een gering aantal van dit soort qubits. Berekeningen in deze fase zijn niet zozeer gelimiteerd door de tijd die het kost om ze uit te voeren, maar door het geheugen dat ervoor nodig is. Het hulpmiddel dat we bekijken in deze situatie is het toevoegen van een zogeheten geheugencatalysator. Dat is een extra stuk geheugen dat zich aan het begin van een berekening in een arbitraire quantumtoestand bevindt. Deze toestand mag door de quantumcomputer worden aangepast tijdens de berekening, maar moet aan het eind van de berekening hersteld zijn. Dit hulpmiddel is gebaseerd op een klassieke versie hiervan, het zogeheten catalytische ruimtemodel. Om deze geheugencatalysator te bestuderen introduceren we het quantumcatalytische ruimtemodel. In dit deel laten we zien dat de toevoeging van een geheugencatalysator de kracht van quantumcomputers met een beperkt geheugen vergroot.

In het derde en laatste deel van dit proefschrift bestuderen we een computationeel probleem dat belangrijk is in de quantumchemie, het vinden van de grondtoestandenergie van een lokale Hamiltoniaan. Een standaardmanier om dit probleem op te lossen is als volgt:

Eerst gebruikt men een klassieke heuristische methode om een zogeheten guiding state te vinden. Dit is een quantumtoestand die een significante overlap heeft met de grondtoestand. De tweede stap is om het quantumfasebenaderingsalgoritme toe te passen op deze toestand. De kans dat dit resulteert in het vinden van de grondtoestandenergie is afhankelijk van de overlap tussen de guiding state en de grondtoestand. In dit deel van het proefschrift bestuderen we de complexiteit van de tweede stap van deze aanpak: we onderzoeken hoe moeilijk het is om de grondtoestandsenergie van de Hamiltoniaan te vinden, gegeven een guiding state. Dit probleem heet de Guided Local Hamiltonian problem. De complexiteit hiervan is voor het eerst bestudeerd door Gharibian en Le Gall [GL21]. Zij tonen aan dat dit probleem BQP-moeilijk is voor een brede set aan parameteres. In dit proefschrift laten we zien dat BQP-moeilijkheid geldt voor een nog grotere set aan parameters.

Wij bestuderen ook het Guidable Local Hamitonian Problem. In dit probleem wordt de guiding state niet gegeven als input, maar wordt wel beloofd dat zo'n toestand bestaat. We laten zien dat dit probleem QCMA-moeilijk is. Dit geeft complexiteitstheoretisch bewijs dat klassieke heuristische methodes even goed werken voor het vinden van een guiding state quantumheuristische methodes. Verder gebruiken we dit probleem om te bewijzen dat er beperkingen zijn aan de technieken die men gebruikt om te proberen de quantum PCP (probabilistically checkable proofs) conjecture te bewijzen.

[GL201] S. Gharibian and F. Le Gall. “Dequantizing the Quantum singular value transformation: hardness and applications to Quantum chemistry and the Quantum PCP conjecture”. In: ACM Symposium on Theory of Computing (STOC). arXiv:2111.09079. Rome, Italy: Association for Computing Machinery, 2022, pp. 19–32. doi: 10.1145/3519935.3519991.