Cycles with Annotations: Non-Wellfounded Proof Theory of Modal Fixpoint Logics
Johannes Kloibhofer 

De titel van dit proefschrift luidt in het Nederlands: Cykels met Annotaties. Niet-Welgefundeerde Bewijstheorie voor Modale Dekpuntlogica's.
In de niet-welgefundeerde bewijstheorie kunnen bewijzen oneindig lange takken of cykels bevatten. Om absurde redeneringen te voorkomen, wordt een zogenaamde correctheidsvoorwaarde geformuleerd voor die oneindige takken en cykels.
De belangrijkste uitdaging in de niet-welgefundeerde bewijstheorie is het omgaan met deze correctheidsvoorwaarden.
Dit proefschrift behandelt verschillende soorten correctheidsvoorwaarden en is opgebouwd rond twee hoofdthema's.

Ten eerste laten we zien hoe annotaties kunnen worden gebruikt om oneindige bewijssystemen te verkrijgen
met eenvoudige padgebaseerde correctheidsvoorwaarden; en we transformeren deze laatste calculi in
cyclische systemen met lokale correctheidsvoorwaarden.
Ten tweede laten we zien hoe dergelijke geannoteerde cyclische bewijssystemen kunnen worden gebruikt om resultaten af te leiden over de onderliggende logica's.

De logica's die we beschouwen zijn modale dekpuntlogica's. De centrale logica die we bestuderen is de modale μ-calculus, die de basismodale logica uitbreidt met expliciete kleinste en grootste dekpunt-operatoren. We onderzoeken ook uitbreidingen daarvan, zoals de tweerichtings modale μ-calculus, die achterwaartse modaliteiten omvat, en fragmenten daarvan, zoals de alternatievrije modale μ-calculus en tweerichtings propositionele dynamische logica.

In hoofdstuk 3 ontwikkelen we methoden om ω-automaten te determinizeren, als een technische basis voor de volgende hoofdstukken. Hoofdstuk 4 richt zich op niet-welgefundeerde bewijssystemen voor de modale μ-calculus. Met behulp van de automaten-theoretische resultaten die in hoofdstuk 3 zijn vastgesteld, voegen we annotaties toe om cyclische bewijssystemen met lokale correctheidsvoorwaarden te construeren. Daarnaast stellen we vast dat het bewijssysteem Clo, geïntroduceerd door Afshari en Leigh, onvolledig is.

In hoofdstuk 5 introduceren we verschillende bewijssystemen voor de tweerichtings modale μ-calculus. Voortbouwend op de resultaten van hoofdstukken 3 en 4, introduceren we een geannoteerd cyclisch bewijssysteem, dat we vervolgens gebruiken om de Craig-interpolatie-eigenschap voor de tweerichtings modale μ-calculus vast te stellen. Hoofdstuk 6 is gewijd aan tweerichtings propositionele dynamische logica. We introduceren een geannoteerd cyclisch bewijssysteem en gebruiken dit om te bewijzen dat ook deze logica voldoet aan Craig-interpolatie.

Ten slotte behandelt hoofdstuk 7 snede-eliminatie voor geannoteerde cyclische bewijssystemen. Dit resultaat wordt verkregen binnen het Focus-systeem, geïntroduceerd door Marti en Venema voor de alternatievrije modale μ-calculus.