Approximation via duality in offline, online and strategic settings
Danish Kashaev

De vragen die in dit proefschrift worden bestudeerd kunnen globaal als volgt worden geformuleerd: gegeven een NP-moeilijk combinatorisch optimalisatieprobleem en een suboptimale oplossing voor dit probleem -- bijvoorbeeld verkregen via een efficiënt benaderingsalgoritme -- wat is de kwaliteit van deze suboptimale oplossing? De kwaliteit wordt gemeten door de slechtst mogelijke verhouding, te berekenen tussen de kosten van de suboptimale oplossing en die van de optimale.

We bestuderen deze vraag in drie verschillende, maar verwante contexten. De beschouwde suboptimale oplossing kan afkomstig zijn van een standaard benaderingsalgoritme dat vooraf beschikt over alle parameters van het probleem. In dit geval beschouwen we de approximation ratio als maatstaf. In een online context worden de parameters na verloop van tijd onthult, en moet een online algoritme telkens bij elke onthulling een onomkeerbare beslissing nemen. In deze context is de relevante maatstaf de competitive ratio. Ten slotte kan de oplossing een stabiele uitkomst zijn die voortkomt uit de strategische interacties van spelers (bijvoorbeeld een Nash evenwicht), waarvoor de relevante maatstaf de price of anarchy is.

In dit proefschrift beschouwen we drie belangrijke klassen van combinatorische optimalisatieproblemen – covering, matching en scheduling – in de reeds geintroduceerde offline, online en speltheoretische modellen. Een overkoepelend thema in al onze resultaten is het gebruik van convex programmeringsrelaxaties, zoals lineaire programmering (LP) en semidefiniete programmering (SDP). We maken vaak gebruik van de kracht van dualiteit in convexe programmering om zorgvuldig gekozen duale oplossingen te construeren die we gebruiken in onze analyses en helpen bij het ontwerpen van onze algoritmen.

In Hoofdstuk 3 kijken we naar het klassieke vertex cover probleem en analyseren een benaderingsalgoritme in een ``beyond the worst-case'' model. Een belangrijke parameter is de oneven girth, die gedefinieerd is als de lengte van de kortste oneven cyclus in de graaf en die we gebruiken om te bepalen hoeveel de graaf van een bipartiete graaf verschilt. Met de ontwikkelde technieken bewijzen we een best mogelijke waarde van de integrality gap van de standaard lineaire programmeringsrelaxatie voor driekleurige grafen. Een interessante vraag is of soortgelijke technieken kunnen worden toegepast op andere combinatorische optimalisatieproblemen in verschillende beyond worst-case modellen. We geloven dat zulke modellen een ander perspectief bieden en nieuwe inzichten kunnen geven, zelfs voor klassieke, goed bestudeerde problemen.

In Hoofdstuk 4 bestuderen we een generalisatie van het online bipartite matching probleem en beschouwen we hypergrafen. We concentreren ons op het driedimensionale probleem waarbij knopen na verloop van tijd bekend worden gemaakt, en bewijzen dat de best mogelijke  competitieve ratio (e-1)/(e+1) is voor het fractionele probleem. Een interessante open vraag is nog steeds of de grens van 1/3 voor het integrale probleem, die eenvoudig wordt bereikt door een naïef algoritme, verbeterd kan worden. We geloven dat dit probleem aanzienlijk moeilijker is dan voor bipartiete grafen, en dat geavanceerde correlated/dependent rounding technieken nodig zullen zijn voor verdere vooruitgang. 

In Hoofdstukken 5 en 6 ontwikkelen we een dual fitting framework gebaseerd op een enkel semidefinite programma waarmee we nauwkeurig kunnen analyseren de price of anarchy voor spellen, de approximation ratio van lokale zoekalgoritmes en de competitive ratio van online algoritmes voor verschillende machine scheduling problemen. Met deze techniek kunnen we op eenvoudige en uniforme wijze bewijzen geven voor veel belangrijke resultaten. Deze omvatten onder andere de analyse van de price of anarchy voor het unrelated machine scheduling probleem, de best bekende deterministische en gerandomiseerde coördinatiemechanismen voor dit probleem, evenals het best bekende combinatorische offline benaderingsalgoritme. In de speltheoretische context herleiden we ook de price of anarchy van gewogen affiene congestiespellen en de pure price of anarchy van scheduling op parallelle machines. In de online setting herleiden we de best bekende deterministische en gerandomiseerde algoritmen voor het online load balancing probleem op unrelated machines en presenteren we een best mogelijk fractioneel algoritme. Het kan interessant zijn om deze techniek toe te passen op andere allocatie problemen waarvan de optimale oplossing gemodelleerd kan worden als een binair kwadratisch programma. 

In Hoofdstuk 7 bestuderen we het explorable heap selection probleem. Het doel is om de n'de kleinste waarde te vinden in een binaire heap, en de complexiteit van het algoritme wordt gemeten aan de hand van de totale afstand die in de boom wordt afgelegd. Wij presenteren een nieuw gerandomiseerd algoritme dat de best bekende looptijd verbetert, zij het ten koste van een iets groter geheugengebruik.